Внутренние и внешние (опоры) связи

Связи в расчетных схемах инженерных конструкций строительной механики, которые соединяют друг с другом отдельные ее части (стержни, пластины и т.д.) называются внутренними .

Виды внутренних связей:

2) отбросить более сложную часть (где больше сил) и для дальнейшего расчета используют более простую часть стержня;

3) составить уравнения равновесия;

4) решая полученные уравнения, определить внутренние усилия M, Q, N ;

5) построить эпюры M, Q, N по найденным значениям внутренних усилий.
Метод совместных сечений

Данный метод применяется при расчете составных систем.

Например, при расчете трехдисковой рамы (рис. 2, а) проводятся три совместных сечения I, II, III . В точках рассечения междисковых связей появляются 9 реакций (рис. 2, б): реакции в опорах R 1 , R 2 , H и реакции X 1 , X 2 , X 3 ,Y 1 , Y 2 , Y 3 . Величины данных реакций определяются посредством составления уравнений равновесия.

Рисунок 2. Метод совметсных сечений

1) провести через несколько точкек для рассматриваемой системы разрезы, деля данную конструкцию на составные части;

2) отметить возникшие реакции в рассеченных связях;

3) для каждой полученной составной части диска составить уравнения равновесия;

5) построить эпюры для каждой составной части заданной конструкции;

6) построить совместные эпюры для всей системы.

Метод вырезания узла

Данный метод применяется при расчете внутренних усилий в простых системах.

Алгоритм расчета данным методом:

1) можно вырезать узел только с двумя стержнями , сходящимися в нем, внутренние усилия в которых неизвестны;

2) продольные силы, действующие в узле, проецируются на соответствующие оси (для плоской системы x и y);

3) решая составленные уравнения, определяют неизвестные внутренние усилия.

Метод замены связей

Данный метод применяется при определении внутренних усилий в сложных статически определимых систем, для расчета которых использовать выше перечисленные способы трудно.

Алгоритм расчета данным методом:

1) сложная система преобразуется в более простую посредством перемещения связей;

2) из условия равенства изначально заданной и заменяющей систем определяется внутреннее усилие в переставленной связи;

3) полученная система рассчитывается одним из выше описанных способов.

Примеры задач с решениями.
С. Задача 1

Подробнее: С. Задача 1

С. Задача 2

Построить эпюры внутренних усилий для балки.

Подробнее: С. Задача 2

С. Задача 3

Построить эпюры внутренних усилий для однопролетной ломаной балки.

Подробнее: С. Задача 3

С. Задача 4

Построить эпюры внутренних усилий для консольной ломаной балки.

Подробнее: С. Задача 4

Примеры с решениями.

С. Задача 1

Построить эпюры внутренних усилий для балки.

Однопролетная балка

1) Определяем реакции в опорах:

Т.к., значение реакции R A получилось отрицательным, то меняем ее направление на расчетной схеме (новое направление обозначаем пунктирной линией), учитывая в дальнейшем новое направление и положительное значение этой реакции.

Проверка:

2) Строим эпюру изгибающих моментов М (построение эпюры ведется с любого "свободного" конца балки):

Q . Производим построение эпюры поперечных сил ( Q ), используя формулу Журавского:

где М пр, М лев – ординаты изгибающего момента на правом и левом концах рассматриваемого участка балки;

l – длина рассматриваемого участка балки;

Q – величина распределенной нагрузки на рассматриваемом участке.

Знак «±» в формуле ставится в соответствии с правилом знаков поперечных сил , рассмотренным выше (рисунок 1).

С. Задача 2

Построить эпюры внутренних усилий для составной рамы.

Разделяем составную раму на две части: вспомогательную и основную (статически определимую и геометрически неизменяемую ).

Расчет начинаем со вспомогательной рамы.

Составная рама

Вспомогательная часть рамы

1) Определяем реакции в опорах:

Проверка:

2) Строим эпюру изгибающих моментов М:

3) Строим эпюру поперечных сил Q :

Эпюры внутренних усилий для вспомогательной рамы

4) Строим эпюру продольных сил N :

Рассматриваем узел G :

Вырезание узла для

Как построить линии влияния? Строительная механика основывается на кинематическом способе Лагранжа. Его основная суть заключается в том, что в системе, которая находится в состоянии полного равновесия, результирующая всех сил на незначительных перемещениях равна нулю.

Специфичность метода

Чтобы построить линии влияния реакции, изгибающего момента, поперечной силы для заданного сечения балки, используется определенный алгоритм действий. Для начала удаляют связь. Кроме того, убирают линии влияния внутреннего усилия, вводят необходимое усилие. В результате подобных манипуляций заданная система будет механизмом, обладающим одной степенью свободы. В том направлении, где рассматривается внутреннее усилие, вводят незначительное перемещение. Его направление должно быть аналогично внутреннему усилию, только в таком случае будет совершаться положительная работа.

Примеры построений

На основе принципа перемещений записывают уравнение равновесия, при его решении вычисляют линии влияния, определяют необходимое усилие.

Рассмотрим пример таких расчетов. Строим линии влияния поперечной силы в некотором сечении А. Чтобы справиться с поставленной задачей, необходимо построить эпюру перемещений данной балки от одинарного перемещения в направлении убранной силы.

Формула для определения усилий

Построение линий влияния осуществляется с применением специальной формулы. Она связывает искомое усилие, величину сосредоточенной силы, которая действует на балку, с площадью фигуры, образованной линией влияния и осью эпюры под нагрузкой. А также с показателем изгибающего момента и тангенса угла линии влияния усилий и нейтральной осью.

Если направление распределительной нагрузки и сосредоточенной силы совпадают с направлением подвижной единичной силы, они имеют положительное значение.

Изгибающий момент будет положительной величиной в том случае, когда его направление совпадает с движением часовой стрелки. Тангенс будет положительным при значении угла поворота менее прямого угла. При проведении вычислений используют со своими знаками величину ординат и площади линии влияния. Строительная механика основывается на статистическом методе построения эпюр.

Определения

Приведем основные определения, которые необходимы для выполнения качественных чертежей и расчетов. Линия влияния - это линия, которая связывает внутреннее усилие и перемещение единичной подвижной силы.

Ординаты демонстрируют изменение анализируемого внутреннего усилия, появляющегося в определенной точке на балке при передвижении по длине единичной силы. Они показывают изменение в разных точках рассматриваемого внутреннего усилия при условии использования внешней неподвижной нагрузки. Статистический вариант построение базируется на записи уравнений равновесия.

Два варианта построения

Построение линий влияния в балках и изгибающего момента возможно в двух случаях. Сила может располагаться справа или слева относительно используемого сечения. При левом расположении от сечения силы при проведении расчетов выбирают силы, которые будут действовать правее. При ее правом действии считают по левым силам.

Многопролетные балки

В мостах, к примеру, при передаче внешней нагрузки на несущую часть всей строительной конструкции используются вспомогательные балки. Главной балкой называют ту, что является несущей основой. Поперечными считают балки, располагающиеся к главной под прямым углом.

Вспомогательными (однопролетными) именуют балки, к которым и прилагается внешняя нагрузка. Такой вариант передачи на основную балку нагрузки считается узловым. Панелью считают участок, расположенный между двумя ближайшими узлами. А они представлены в виде точек главной оси, к которым подходят поперечные балки.

Особенности

Что собой представляет линия влияния? Определение данного термина в балке связано с графиком, который показывает изменение анализируемого фактора при передвижении единичной силы по балке. В его качестве может выступать поперечная сила, изгибающий момент, опорная реакция. Любая ордината линий влияния демонстрирует размер анализируемого фактора в тот момент времени, когда сила располагается над ней. Как построить линии влияния балки? Основывается статистический способ на составлении уравнений статистики. Например, для простой балки, находящейся на двух шарнирных опорах, характерна сила, передвигающаяся по балке. Если выбрать определенное расстояние, на котором она функционирует, можно построить линии влияния реакции, составить уравнение моментов, построить по двум точка график.

Кинематографический способ

Может быть на основе перемещений построена линия влияния. Примеры таких графиков можно найти в тех случаях, когда изображают балку без опоры, чтобы механизм мог перемещаться в положительном направлении.

Для построения линии влияния определенного изгибающего момента необходимо врезать в имеющееся сечение шарнир. В таком случае полученный механизм будет поворачиваться на единичный угол в положительном направлении.

Построение линии влияния при поперечной силе возможно при врезке в сечение ползуна и раздвигании балки на единицу в положительном направлении.

Можно с помощью кинематографического способа построить линии изгибающего момента и поперечной силы в консольной балке. С учетом неподвижности левой части в подобной балке рассматривается движение только для правой части в положительном направлении. Благодаря линиям влияния по формуле можно рассчитать любые усилия.

Расчеты при кинематографическом способе

При расчетах по кинематическому способу используют формулу, связывающую число опорных стержней, количество пролетов, шарниров, степени свободы поставленной задачи. Если при подстановке заданных значений свободы будет равно нулю, статистически задачу можно определить. Если данный показатель будет иметь отрицательное значение, задача статистически невыполнима, при положительной величине степеней свободы выполняется геометрическое построение.

Для того чтобы было удобнее проводить расчеты, иметь наглядное представление об особенностях работы дисков в многопролетной балке, строят поэтажную схему.

Для этого меняют на шарнирно-неподвижные опоры все исходные шарниры, имеющиеся в балке.

Разновидности балок

Предполагается несколько типов многопролетных балок. Специфичность первого типа состоит в том, что во всех пролетах, за исключением первого, используются шарнирно-подвижные опоры. Если вместо шарниров использовать опоры, будут образовываться однопролетные балки, в которых каждая будет опираться на консоль рядом стоящей.

Для второго типа характерно чередование пролетов, которые обладают двумя шарнирно-подвижными опорами, с пролетами без опор. В таком случае поэтажная схема на консоли центральных балок базируется на балках-вставках.

Кроме того, существуют и такие балки, в которых совмещаются два предыдущих типа. Чтобы обеспечить статистическую определимость балок-вставок, переносят между опорой на правую соседнюю балку. Нижний этаж в поэтажной схеме будет представлен основной балкой, а второстепенные балки применяют для верхнего этажа.

Эпюры внутренних силовых факторов

С помощью поэтапной схемы можно выполнять построение эпюры для отдельной балки начиная с верхнего этажа и завершая нижними построениями. После того как будут завершены построения силовых внутренних факторов для верхнего этажа, нужно поменять все найденные значения реакции опор на противоположные по направлению силы, затем приложить их в поэтажной схеме к нижнему этажу. При построении на нем эпюр пользуются заданной нагрузкой сил.

После завершения построения эпюр силовых внутренних факторов осуществляется статистическая проверка полной многопролетной балки. При проверке должно выполняться условие, согласно которому сумма всех реакций опор и заданных сил равна нулю. Также важно провести анализ соблюдения дифференциальной зависимости для отдельных участков используемой балки.

В графике, который выражает закон изменения либо силового внутреннего фактора в конкретном (заданном) сечении здания, функции от расположения передвигающегося отдельного груза называют линией влияния. Чтобы построить их применяют уравнение статистики.

Для определения силовых внутренних факторов вычисления реакций опор по определенным линиям влияния используются графические построения.

Значение вычислений

В широком значении строительная механика рассматривается в качестве науки, которая занимается разработкой методов расчета и принципов проверки конструкций и сооружений на устойчивость, прочность, а также на жесткость. Благодаря качественным и своевременным расчетам на прочность можно гарантировать безопасность работы возведенных сооружений, полную стойкость их к внутренним и внешним усилиям.

Для достижения желаемого результата применяется сочетание экономичности и долговечности.

Расчеты на устойчивость позволяют выявлять критические показатели внешних воздействий, гарантирующие сохранность заданной формы равновесия и положения в деформированном состоянии.

Расчеты на жесткость заключаются в выявлении разнообразных вариантов деформаций (осадок, прогибов, вибраций), из-за которых исключается полноценная эксплуатация сооружений, возникает угроза прочности конструкций.

Для того чтобы не возникало аварийных ситуаций, важно проводить подобные вычисления, анализировать соответствие полученных показателей предельно допустимым значениям.

В настоящее время строительная механика применяет огромное количество разнообразных надежных методик расчетов, которые прошли детальные испытания строительной и инженерной практикой.

Учитывая постоянную модернизацию и развитие строительной отрасли, включая и ее теоретическую базу, можно вести речь о применении новых надежных и качественных способов построения чертежей.

В узком понимании строительная механика связана с теоретическими расчетами стержней, брусьев, которые образуют сооружение. В качестве базы для строительной механики выступают фундаментальная физика, математика, экспериментальные исследования.

Расчетные схемы, которые применяются в строительной механике для каменных, железобетонных, деревянных, металлических конструкций, позволяют избегать недоразумений во время возведения зданий и сооружений. Только при правильном предварительном построении чертежей можно вести речь о безопасности и надежности создаваемых сооружений. Построение линий влияния в балках является довольно серьезным и ответственным мероприятием, ведь от точности действий зависит жизнь людей.

Рассмотрим одну из наиболее простых статически определимых комбинированных систем (рис. 11.11, а). Вначале построим линию влияния усилия в затяжке 1-2. Для этого проведем сечение I-I и рассмотрим равновесие левой отсе-

Рис. 11.11

ченной части. Предполагая, что груз находится справа от сечения I-I, из равновесия левой части получим

откуда найдем

Линия влияния при грузе, находящемся правее сечения I-I, имеет такое же очертание, как линия влияния опорной реакции R A , которая представляет собой треугольник с ординатой над левой опорой, равной единице. В нашем случае но уравнению (11.3) над левой опорой необходимо отложить ординату 1/(2/) (рис. 11.11, б). Но полученная правая прямая действительна только на протяжении от опоры В до шарнира С. Под точкой С пересекутся левая и правая прямые. Ордината над точкой С будет //(4/). Таким образом, получим л. в. Я в виде треугольника (см. рис. 11.11,6).

Для определения изгибающего момента в точке k проведем в непосредственной близости от стойки сечение II-И. Из равновесия левой части при грузе правее сечения найдем

Итак, ординаты правой прямой состоят из ординат двух прямых: прямой, определяющей линию влияния R A в масштабе (ik, и прямой, являющейся линией влияния распора в масштабе /. Ордината в середине пролета будет

но aft = 1/4 , поэтому момент М* при единичном грузе, расположенном в середине пролета, равен -1/8; если груз Р = 1 стоит в точке k , то

По этим данным построена л. в. (рис. 11.11, в). На рис. 11.11, г показана линия влияния поперечной силы. Усилие в затяжке 1-2 проецируется на сечение k в ноль, поэтому величина Н не влияет на величину поперечной силы Qj,. Ее вид будет такой же, как для простой балки.

В рассмотренной линии влияния момента положение нулевой точки легко определить графически. На рис. 11.12 показано направление равнодействующих сил, приложенных к левой и правой частям, когда единичный груз находится в точке, которой соответствует равенство нулю момента М*. Каждая из равнодействующей приложена в точке пересечения горизонтальной силы Н и соответствующей опорной реакции. Равнодействующая, приложенная к правой части, обязательно пройдет через шарнир С, так как момент в шарнире равен нулю. Равнодействующая сил, приложенных к левой части, должна пройти через точку k, так как только в этом случае М* = 0. Там, где пересекутся две равнодействующие, и должен расположиться груз Р - 1. Под этим грузом и будет лежать нулевая точка л. в. М/,.

При расчете статически неопределимых комбинированных систем обычно применяется метод сил, по которому линия влияния лишнего неизвестного определяется как линия прогибов от единичного значения неизвестного, деленная на масштаб 5ц (см. п. 6.12).

Рис. 11.12

Особенностью расчета в этом случае является вычисление масштаба 5ц с учетом изгиба в балке жесткости и осевых сил в элементах цепи:

Все остальные вычисления проводятся по обычной схеме.

Рассмотрим систему, которая приведена в примере 2 предыдущего параграфа. Масштаб 6 И = 1839/(?/).

Для построения линии прогибов балки, по которой движется единичная сила Р = 1 (рис. 11.13, а), необходимо вычислить прогибы от трех единичных сил, которые передаются на балку от действия силы Х = 1 (рис. 11.13, б). Эту задачу можно решить, применяя метод фиктивных сил (см. и. 5.11).

Формула подсчета фиктивного груза имеет вид

При расстояниях между узлами, равных S n = 5, |+ | = d = 6, и при EJ = const получим

По эпюре М„ (см. рис. 11.9) найдем

Фиктивная балка для данной задачи представляет собой простую двухопорную балку. Найдя фиктивные моменты от загружения балки фиктивными грузами W (см. рис. 11.13, б), получим линию прогибов, которая изображена на рис. 11.13, в. При построении Мф мы придерживались принятого ранее правила знаков: 1) грузы W направляли в сторону растянутого волокна в эпюре М (которая была сверху); 2) эпюру Мф от грузов W, направленных вверх, строили также со стороны растянутого волокна. В результате Мф отложены вверх. Это означает, что прогибы от Х = 1 направлены вверх, т.е. в противоположном направлении от груза Р = 1,

Рис. 11.13

ОТ которого строится ЛИНИЯ ВЛИЯНИЯ. Поэтому эпюра Мф имеет знак «минус». В соответствии с формулой (11.3) получим л. в. (рис. 11.13, г); для этого все ординаты эпюры Мф разделим на 8ц и сменим знак на обратный.

В тех случаях, когда узлы цепи гибкой арки лежат на узлах квадратной параболы, линии влияния в других подвесках будут совпадать с л. в. Х. Рассмотрим равновесие произвольного узла гибкой арки, показанного на рис. 11.14. Усилия в элементах цепи обозначим N„ и М„ +1 . Ввиду того что цепь сжата, обе силы N направлены к узлу. Усилие в стойке направлено вниз. Составим сумму проекций на горизонтальную ось:

Из этого равенства следует, что узел п уравновешивается двумя проекциями сил N, которые равны распору. Отсюда найдем

Проецируя все силы на вертикаль, запишем

Подставляя сюда значения сил N согласно равенству (11.4) и определяя усилие в стойке, найдем

Построим л. в. распора Я. Из равенства (11.6) найдем

Таким образом, линия влияния распора Я будет иметь такой же вид, как и л. в. Х. Все ординаты л. в. Я получатся из ординат л. в. Х путем деления их на разность тангенсов углов наклона примыкающих к узлу п элементов цени.

Рассмотрим теперь случай, когда узлы гибкой арки располагаются на оси квадратной параболы. В этом случае разность тангенсов углов наклона есть величина постоянная и равная 8fd/l 2 , где d - расстояние между подвесками. Поэтому из выражения (11.6) получим

Из выражений (11.4) и (11.8) следует, что построенная л. в. Х { подобна линиям влияния усилий N и распора Я. Для перехода от л. в. Х { к л. в. N надо все ординаты л. в. Х разделить на соответствующий косинус угла (р, а для получения л. в. Я - умножить на

l 2 /(8fd).

Построим теперь линию влияния изгибающего момента в сечении под первой стойкой по формуле Mk = Ml +МХ в этой точке М = -9 (см. рис. 11.9).

На рис. 11.15 показаны комбинированная система, линия влияния Ml в основной системе и окончательная линия влияния момента в точке k.

Вычисления целесообразно проводить в табличной форме (табл. 11.3).

5. Линии влияния и их применение для расчета

статически определимых балок

5.1. Нагрузки и внутренние силовые факторы

Сопротивление материалов рассматривает только однопролетные балки при действии на них неподвижных нагрузок . В курсе строительной механики рассматриваются эти же балки, но при действии на них и подвижных нагрузок , а также многопролетные статически определимые балки, фермы и арки при действии на них подвижных и неподвижных нагрузок.

Подвижной нагрузкой называется нагрузка, движущаяся по сооружению с некоторой скоростью. К примеру, такой нагрузкой является транспорт (рис. 5.1, а ), поезд, движущийся по мосту; кран, движущийся по подкрановой балке и др. Его можно рассматривать как систему взаимосвязанных параллельных сил, движущихся по сооружению (рис. 5.1, б ). При этом усилия (а также напряжения и деформации) зависят от положения подвижной нагрузки. Для определения расчетных значений усилий необходимо из всех возможных положений нагрузки выбрать такое, при котором рассчитываемый элемент будет находиться в самых неблагоприятных условиях. Такое положение нагрузки называется невыгоднейшим , или опасным.

Рис. 5.1

5.2. Методырасчета сооружений на подвижную нагрузку

Подвижная нагрузка вызывает в элементах сооружения переменные внутренние усилия. Расчет сооружения на подвижную нагрузку, даже без учета динамических эффектов (например, ускорений и инерционных сил), сложнее расчета на постоянную нагрузку. Потому что приходится решать несколько задач:

1) определять наиболее опасное (расчетное) положение нагрузки;

2) определять наибольшее (расчетное) значение этой нагрузки;

3) рассчитывать сооружение на расчетную нагрузку.

Расчет на подвижную нагрузку можно вести двумя методами.

Общий метод . Сущность метода : подвижная нагрузка рассматривается целиком и обозначается одной координатой; искомое внутреннее усилие выражается как функция этой координаты; эта функция исследуется на экстремум и определяется расчетное положение нагрузки; затем вычисляется расчетное значение внутреннего усилия.

Этот метод универсален, но сложен для реализации.

Метод линий влияния . Сущность метода : искомая величина (внутреннее усилие, реакция и др.) определяется как функция от подвижной единичной силы; строится график этой функции, а затем находятся расчетное положение и расчетное значение этой величины.

Метод линий влияния более прост для реализации, позволяет достаточно просто определять расчетное положение нагрузки и ее величину. Поэтому далее остановимся только на нем.

Линия влияния (ЛВ) – это график изменения одного усилия (опорной реакции, реакции в связи, изгибающего момента, перерезывающего и продольного усилий) в определенном месте (сечении) конструкции от единичной безразмерной силы P =1, которая движется по конструкции без ускорения, сохраняя при этом постоянное направление.

Понятия ЛВ и эпюры нельзя путать, потому что эпюра показывает значение внутреннего усилия для всех точек (сечений) от постоянной нагрузки, а ЛВ показывает значение внутреннего усилия от подвижной единичной силы P =1 только для одного сечения.

Линии влияния, главным обp азом , применяют в балочных cиc­темах (а также в ар­ках, фермах и дру­гих стержневых си­стемах), в котоpых cоcpедоточенная cила может пеpеме­щатьcя вдоль пpо­лета , cохpаняя cвое напpавление . Пp и помощи линий вли­яния легко pаccчи­тать балкy на под­вижнyю нагpyзкy , возникающую, напpимеp , при движении поезда или потока автомашин на моcтовом пpолете .

5.3. Построение линий влияния усилий простой балки

Пример 5.1. Рассмотрим консольную балку, на которую действует подвижная нагрузка P =1 (рис. 5.2, а ).

Рис. 5.2

1) Линии влияния опорных реакций

Сумма моментов в правой опоре:

Σ M B =−R A ∙ l + 1 ∙ (l – x) = 0.

Отсюда

Для построения графика этой функции найдем положение двух точек:

еслиx =0 , то R A =1;

еслиx=l , то R A =0.

Через эти точки проводим прямую и строим ЛВ реакции R A (рис. 5.2, б ).

Для определения правой опорной реакции составим уравнение

Σ M A =R B ∙ l – 1 ∙ x = 0.

Отсюда

Если x =0, то R B =0;

если x=l , то R B =1.

Через эти точки проводим прямую и строим л.в . реакции R B (рис. 5.2, в ).

2) Линии влияния поперечной силы и момента

Они зависят от положения сечения, в котором определяются.

а) Единичная сила правее сечения К

В этом случаеQ K = R A , M K = R A ∙ a .

Эти функции определяют правые ветви ЛВ поперечной силы и момента в сечении К (рис. 5.2, г, д ).

б) Единичная сила левее сечения К

В этом случае внутренние усилия определяем через правую опорную реакцию. ТогдаQ K =– R B , M K =R B ∙ b . Эти функции определяютлевые ветви ЛВ поперечной силы и момента в сечении К (рис. 5.2, г, д ).

Если сечение располагается на консольных (левой или правой) частях балки (рис. 5.3, а ), ЛВ поперечной силы и момента будут совсем другими. Приведем результат их построения для двух сечений К 1 и К 2 (рис. 5.3, б-д ).

Рис. 5.3

В некоторых расчетных схемах (например, в этажных схемах разрезной балки) встречаются консоли с заделками справа или слева. ЛВ их усилий можно получить и без расчетов, используя соответствующие левые и правые части предыдущих линий влияния (рис. 5.3, б-д ), считая, что в точках А и В имеются заделки.

Полученные ЛВ опорных реакций и внутренних усилий используются как известные решения при расчете аналогичных балок и как промежуточные решения при расчете многопролетных балок.

Пример 5.2. Рассмотрим простую балку на двух опорах (рис. 5.4,а ).

Решение.

Загружаем ее единичной силой Р = 1. Поскольку сила двигается по балке (скажем вертикального направления), то ее местоположение зафиксируем координатой х от опоры А .

Рис.5.4

Решение.

Построим л. в . для опорной реакции R A .

Вычислим величину R A , рассмотрев уравнение статики Σ M B =0.

Σ M B =−R A ∙ l + 1 ∙ (l – x) = 0.

Отсюда

Из выражения R A видим, что величина опорной реакции меняется по линейному закону. Поэтому можно задать два сечения х и по этим величинам R A построить график изменения реакции R A .

При x =0,R A =1.

При x = l (т. е. сила Р = 1 будет находиться на опоре В)R A =0.

Откладывая эти значения R A на одном графике и соединяя их прямой (рис. 5.4,б ), получим л. в. R A в пределах длины балки. Когда сила Р = 1 будет находиться в точке С , величина R A может быть вычислена из подобия треугольников или аналитически из полученной ранее формулы:

Читателю предлагается самостоятельно построить л. в. R b и сравнить сграфиком, показанном на рис.5.4,в .

Разберем построение л. в . для М к . Сечение «К» на расстоянии 4,0 м от опоры А (рис. 5.5,а ).

Поскольку Р = 1 двигается по балке, то она может оказаться как слева от сечения «К», таки справа от него. Необходимо рассмотреть оба положения нагрузки относительно сечения «К».

а) Р = 1 слева от сечения «К» (как показано на рис. 5.5,а ).

Рис.5.5

Изгибающий момент в сечении «К» можно подсчитать как от левых, так и от правых сил. Отправых сил момент подсчитать удобнее – меньше слагаемых (меньше сил):

Из этого выражения следует, что

Следовательно, нужно построить л.в . R b и все ее ординаты увеличить в 2 раза (рис.5.5,б ), но этот график будет справедлив только слева от сечения «К», т. е. там, где находится груз Р = 1. Эта прямая л.в . М К носит название – левая прямая. Рассмотрим второе положение Р = 1.

б) Р = 1 справа от сечения «К».

или

т. е. следует построить л. в. R A , ординаты которой следует увеличить в 4 раза, и этот график будет справедлив только справа от сечения “К” – правая прямая л.в . М К (рис. 5.5,в ).

Для получения полного графика л. в. М К совмещаем на одной оси обе прямые (левую и правую) л. в. М К (рис. 5.5,г ).

По такому же принципу строятся и л. в. для Q K (рис. 5.5,д ) и других усилий.

Пример 5.3. Рассмотрим консольную балку (рис. 5.6). Построим графики изменения (л.в .) опорных реакций и внутренних усилий в сечении «К».

Рис.5.6

Решение.

Линии влияния R A . .

Реакция данной опоры определится из уравнения статики

Σ y =0;R A - 1=0илиR A =1.

Обратим внимание - в уравнение не вошла координата х . Следовательно, реакция опоры А постоянная, где бы ни находилась сила Р = 1 (рис. 5.6,б ).

Линия влияния H A . .

Уравнение Σ x =0 дает, что H A =0.

Линия влияния М A

Из уравнения Σ M A =0 получаем, что M A + 1 ∙ x =0, откуда M A = - x .

Знак минус говорит о том, что направление реактивного момента мы выбрали неверно, а само значение М А зависит от координатых.

При x =0 M A =0.

При x = l M A = l (где l – вылет консоли).

Линия влияния М А приведена на рис. 5.6,в .

Линия влияния Q K (перерезывающая сила в сечении К).

Рассмотрим положение груза Р = 1 слева от сечения (рис.5.6,г ).

Перерезывающую силу Q K удобнее вычислить от правых сил, тогда

Q K =0.

Левая прямая справедлива отзаделки до сечения К (рис. 5.6,е ).

Когда груз Р = 1 окажется справа от сечения К (рис.5.6,д ), перерезывающую силу опять вычислим от правых сил:

Q K =1.

Вновь заметим – величина Q K не зависит от положения нагрузки на этом участке, т. е. Q K – постоянная (рис.5.6,е ) и правая прямая справедлива от сечения К до конца консоли. В сечении К на графике л.в . наблюдается скачок на величину Р = 1.

Линия влияния М К (изгибающий момент в сечении К).

Здесь мы вновь рассмотрим два положения груза Р = 1.

а ) Груз Р = 1 слева от сечения (рис. 5.6,г ).

Изгибающий момент в сечении «К» проще подсчитать от правых сил (их нет), тогда M K =0 . Следовательно, на графике (рис. 5.6,ж ) слева от сечения изображаем нулевую линию (левую прямую).

б) Груз Р = 1 справа от сечения (рис.5.6,д ).

Зафиксируем его от сечения «К» координатой х . Тогда изгибающий момент в сечении «К» вычисляется:

M K = 1∙ x.

Отсюда имеем:

при x =0 M K =0.

при x = b M K = b .

По этим данным строим правую прямую (рис. 5.6,ж ).

5.4. Построение линий влияния усилий в ломаных стержнях (рамах)

Пример 5.4. Рассмотрим простейшую раму (рис.5.7). Будем считать, что Р = 1 двигается по горизонтальному стержню 2-3 и направлена вертикально.

Рис.5.7

Решение.

Поскольку Р = 1 двигается по линии 2-3, то все графики строим по проекции этой линии (рис. 5.7).

Линия влияния Н 1

Запишем выражение для определения Н 1 :

Σ M 3 =0;

откуданаходим

при x =0 H 1 = 1,5;

при x =6 H 1 = 0.

График изменения Н 1 показан на рис.5.7,б .

Линия влияния Н 3

Σ x =0; H 3 + H 1 =0, откуда H 3 =- H 1 .

Знак минус указывает, что направление выбрано нами неудачно. Сменим его на противоположное. Другими словами, величина H 3 = H 1 .

Линия влияния R 3

Σ y =0;R 3 - 1=0; R 3 =1.

Это означает, что величина реакции R 3 не зависит от положения нагрузки (рис. 5.7,в ).

Линия влияния M 21 (момент в сечении 2 участка 2-1)

Величину изгибающего момента запишем как сумму моментов нижних сил, т. е.

или величина момента меняется так же, как л.в . Н 1 , ординаты которой умножаются на 4 (м) (рис. 5.7,г ).

Линия влияния Q 21 (перерезывающая сила в сечении 2 участка 2-1)

Уравнение говорит само за себя (рис. 5.7,д ).

Линия влияния Q 23 (перерезывающая сила в сечении 2 участка 2-3)

Линия влияния N 21 (продольная сила в узле 2 участка 2-1) (рис. 5.7,ж ).

N 21 =0(из проекции на ось стержня 2-1).

Линия влияния N 21 (продольная сила в узле 2 участка 2-3) (рис. 5.7,з ).

(из проекции на ось стержня 2-3).

5.5. Построение линий влияния усилий в двухдисковой конструкции

Пример 5.5. Рассмотрим построение на примере двухдисковой рамы (рис. 5.8).

Рис.5.8

Решение.

Линии влияния опорных реакций

Линия влияния R 1 .

Вычисляем опорную реакцию R 1 :

Σ M 6 =0;

При Р = 1 слева от шарнира 3:

При Р = 1справа от шарнира 3:

Решение системы 2-х уравнений с 2-мя неизвестными при Р = 1 слева от шарнира 3:

дает Придавая координате «х » крайние значения на этом участке, получим величину R 1 :

при x =0 R 1 =1 ,

при x = 4

При Р =1 справа от шарнира 3 получим систему двух уравнений:

решение которой дает:

при x =4 R 1 = 0,567;

при x =7 R 1 = 0;

при x =9 R 1 = -0,377.

График изменения R 1 смотрите на рис.5.8,б .

Линия влияния Н 1

Из полученных ранее уравнений при известном значении R 1 находим величину Н 1 :

ПриР = 1 слева от шарнира 3

при x =0 H 1 = 0;

при x =4

При грузе Р = 1 справа от шарнира 3

при x =4 H 1 = 0,324;

при x =7 H 1 = -0,756+0,756=0;

при x =9 H 1 = -0,972+0,756=-0,216.

По полученным значениям линия влиянии Н 1 построена на рис.5.8,в .

Линия влияния Н 6 .

Из общего уравнения равновесия конструкции:

Σ x =0;

Откуда следует, что , и следовательно, (рис. 5.8,в ).

Линия влияния R 6 .

Воспользуемся уравнением равновесия всей конструкции:

Σ y =0;

Отсюда

Линия влияния R 6 показана на рис.58,г .

Линии влияния внутренних усилий

Наметим сечения в узле 4 на стержне 4 - 6; в узле 4 на участке 4 - 3; в узле 4 на участке 4 – 5 (рис. 5.9,а ).

Сечение 4 на участке 4 – 6.

Линия влияния Q 4-6 .

Величина усилия Q 4-6 вычисляется из условия равновесия нижней части (стержень 4-6):

Обратим внимание, что величина перерезывающей силы (Q 4-6 ) от положения силы Р = 1 не зависит, следовательно, (рис. 5.8,д ).

Линия влияния N 4-6 .

Усилие N 4-6 вычисляется как сумма всех сил на ось стержня, располагающегося ниже сечения 4 участка 4 - 6.

и, поскольку величина N 4-6 не зависит от координаты х , можем утверждать: (рис. 5.8,е ).

Линия влияния М 4-6 .

Изгибающий момент в сечении 4 участка 4 – 6 вычисляется:

и опять - таки не зависит от места расположения Р = 1. Таким образом, меняется так же, как и , но все ординаты л.в . Н 6 увеличиваются на 4 (м), т.е.: (рис.5.8,ж ).

Рис.5.9

Сечение 4 на участке 4 – 3 – 2.

Линия влияния Q 4-3 (рис. 5.9,б ).

Величина перерезывающей силы в сечении 4 участка 4 – 3 – 2 (Q 4-3 ) будет зависеть от положения силы Р = 1.

Сила Р = 1 слева от сечения 4.

Получили так называемую левую прямую.

Сила Р = 1 справа от сечения 4 – 3.

Линия влияния N 4-3 (рис. 5.9,в ).

Независимо от положения нагрузки Р = 1, величина N 4-3 будет равна либо Н 1 , либо Н 6 , т. е.

Линия влияния М 4-3 (рис. 5.9,г ).

Сила Р = 1 слева от сечения: (левая прямая).

Сила Р = 1 справа от сечения.

Здесь возможны два варианта вычисления:

а) , т. е.

б) Силу Р = 1, находящуюся справа от сечения 4 стержня 4 – 3, зафиксируем ординатой х от узла 4 (рис. 4.9,а ). Тогда

Линия влияния уже построена. Остается при х = 2добавить к значению –0,864 величину 2 , т. е.:

при x =2

при x =0

Для усилий сечения 4 участка 4 – 5 линии влияния строятся как для консоли (рис. 5.9,д,е ,ж ). Предлагаем построить их самостоятельно.

H еcколько cложнее поcтpоение линий влияния ycилий в эле­ментах cтатичеcки опpеделимых феpм , аpок , а также cтатичеcки неопpеделимых cиcтем .

Заметим также, что линии влияния yc илий в cтатичеcки опpе­делимых cиcтемах пpи движении гpyза по пpямой изобpажаютcя отpезками пpямых линий, в то вpемя как линии влияния ycилий в cтатичеcки неопpеделимых cиcтемах , как пpавило , кpиволинейные .

5.6. Вычисление усилий по линиям влияния от неподвижной нагрузки

Обратимся к л.в . усилия R A простой балки (рис. 5.10). Отметим, что при нахождении силы Р = 1 на опоре А величина реакции равна 1, а при нахождении силы Р = 1 на расстоянии х от опоры А величина R A будет равна величине R A (х) , взятой из графика (рис. 5.10). Если силу Р = 1 увеличить в « n » раз, то и график (его значения) увеличится в « n » раз.

Рис.5.10Рис.5.11

Тогда при загружении одной сосредоточенной силой, скажем, Р = 5 кН (рис.5.11), величина R A будет равна произведению силы 5 (кН) на ординату Л.В. R A , взятую под силой, т. е.

или, вычисляя аналитически, получим то же значение R A .

Если же балка или другая конструкция нагружена сосредоточенными силами (рис.5.12) и, пользуясь принципом независимости действия сил, вычислим значения усилия от каждой силы и результаты сложим, т. е.

где: Р i – значение сосредоточенной i -ой силы;

y i – ордината Л.В. усилия S , взятая под силой Р i , т. е.:

От p аcпpеделенной нагpyзки q (x ) усилие через линии влияния определяется:

где a и b - кооp динаты начальной и конечной точек дейcтвия pаc­пpеделенной нагpyзки .

Для p авномеpно pаcпpеделенной нагpyзки (рис. 5.13) q = const :

где - площадь, огp аниченная линией влияния, оcью абcциcc и пpямыми x = a и x = b .

Рис. 5.12Рис. 5.13

Так для схемы на рис.5.14 с равномерно распределенной нагрузкой усилие S будет подсчитываться как произведение интенсивности нагрузки на площадь (-Ω ) л.в . усилия (на рис. 5.14 л.в . усилия М к ), т. е. S = Ω ∙ q или для М к :

Рис.5.14

Необходимо установить правило знаков при расчете внутренних усилий по линиям влияния.

Если сосредоточенные силы и распределенная нагрузка направлены сверху вниз, то знак ординат линии влияния и площади определяет знак усилия.

Если положительная ветвь линии влияния отложена ниже оси стержня и сосредоточенный момент приходится на нее, то когда поворот оси балки по кратчайшему углу к л.в . совпадает с направлением сосредоточенного момента, имеем положительное внутреннее усилие.

C ледyет подчеpкнyть pазличие междy понятиями линии влия­ния и эпюpы , котоpая по опpеделению также являетcя гpафи­чеcким изобpажением закона изменения ycилия или пеpемещения .

Оp динаты y i и линии влияния, и эпюpы моментов являютcя здеcь фyнкциями от кооpдинаты x. Однако в c лyчае линий влияния эта кооpдината опpеделяет положение гpyза P = 1, а в cлyчае эпю­pы - положение cечения , в котоpом находитcя момент.

Пример 5.6. Обратимся к примеру (рис. 5.15).

Рис.5.15

Решение.

Вычислим величину реакции опоры С. Значение силы 15 кН умножим на значение линии влияния под силой (0,5) и получим:

R с = 15 ∙ 0,5 =7,5 кН.

Для сравнения нетрудно подсчитать реакцию из уравнения:изгибающий момент в шарнире В правых сил равен нулю:

M B = R с ∙ 3 - 15 ∙1 ,5 =0, откуда находим R с = 7,5 кН.

Аналогично находим:

M B = 8 ∙ 3 +15 ∙ 2 +2 ∙ (4 ∙ 4/2) = 70 кНм .

Пример 5.7. Конструкция (рис.5.16,в ) нагружена системой сил (вариант а и вариант б). Вычислим значения усилий по линиям влияния Н 3 (рис. 5.16,г ), М к (рис. 5.16,д ), М F (рис. 5.16,е ).

Рис.5.16

Решение.

Загружение по варианту «а».

Загружение по варианту «б»

5.7. Построение линий влияния при узловой передаче нагрузки

Чаc то нагpyзка пеpедаетcя на конcтpyкцию не непоcpедcтвенно , а чеpез cиcтемy cтатичеcки опpеделимых балок (pиc . 5.17, а ). Тогда, еc ли единичный гpyз находитcя в начале пpолета балки, т.е. в точке а , то он целиком пеpедаетcя на оcновнyю конcтpyкцию и вызывает ycилие , для котоpого поcтpоена линия влияния, чиcленно pавное y а - оpдинате линии влияния, cоответcтвyющей I оcновной конcтpyкции (pиc . 5.17, б ).

Рис. 5. 17

Еc ли гpyз находитcя в конце пpолета балки (точка b ), то он также пеpедаетcя на оcновнyю конcтpyкцию , вызывая ycилие , чиc­ленно pавное y b - оpдинате линии влияния в точке b основной конструкции.

H аконец , еcли гpyз находитcя в пpолете балки на pаccтоянии t от точки a (pиc . 5.17, в ), то левая pеакция балки бyдет pавна , а пpавая , (l 1 - пpолет балки). Значение yc илия в оc­новной конcтpyкции :

т.е. линия влияния на y чаcтке движения гpyза по балке бyдет пpя­молинейная . Еc ли оcновная линия влияния на этом yчаcтке лома­ная или кpиволинейная , то пpи пеpедаче нагpyзки чеpез cтатичеcки опpеделимyю балкy пpи пеpеходе от оpдинаты y a к оpдинате y b эта линия влияния cпpямляетcя .

Опиc анный cпоcоб пеpедачи нагpyзки на оcновнyю конcтpyк­цию называетcя yзловой пеpедачей нагрузки. Он оc обенно чаcто вcтpечаетcя в феpмах , где опоpы балок наcтила pаcпо­лагаютcя над yзлами феpмы , и бал­ками cлyжат cами панели веpхнего или нижнего пояcа (рис. 5.18).

Рис. 5. 18

Пp авило поcтpоения линии влия­ния ycилия S пpи yзловой пеpедаче нагpyзки заключается в следующем:

1. Поc тpоить пpедваpительно ли­нию влияния иcкомого ycилия пpи движении гpyза по оcновной чаcти конcтpyкции ;

2. Зафиксировать ординаты построенной линии влияния под узлами передачи нагрузки;

3. Соединить пp ямой линией оpдинаты линий влияния под yз­лами пеpедачи нагpyзки .

Эта линия называется переда­точной прямой линии влияния. Пример применения этого пра­вила для построения линии влия­ния изгибающего момента для сечения K балки приведен на рис. 5.19.

Рис. 5. 19

5.8. Невыгодное или опасное положение нагрузки

В процессе проектирования стержневых конструкций часто возникает вопрос о таком загружении внешней нагрузкой, когда внутренние усилия в рассматриваемом сечении (или опорная реакция) принимают максимальные (минимальные) значения. Эта проблема исследуется преимущественно с помощью линий влияния.

Положим, что л.в . состоит из отдельных линейных участков, рассмотрим различные случаи нагружения .

P .

В этом случае рассуждения о невыгодном нагружении простейшие:

­– максимальное усилие будет при расположении сосредоточенной силы над максимальной положительной (y max ) ординатой линии влияния:

S max = P ∙ y max ;

– минимальное усилие будет при расположении сосредоточенной силы над максимальной отрицательной (y min ) ординатой линии влияния:

S min = P ∙ y min .

2. Случай действия системы жестко связанных сосредоточенных сил.

Такая нагрузка моделирует нагрузку от автомобиля, поезда и т.п.

В общем случае линия влияния усилия может представлять ломанную линию.

Рассмотрим случай, когда действуют две связанные сосредоточенные силы (рис. 5.20). Пусть P 2 > P 1 .

Рис. 5.20

Для определения опасного положения гру­зов их устанавливают над однозначными уча­стками линии влияния так, чтобы наибольший груз находился над наи­большей ординатой. Из рис. 5.20 все становится понятным.

При большем числе грузов искомое опасное положение устанавливается перебором нескольких вариантов их положения, при котором один из грузов обязательно должен находится над одной из вершин линии влияния (рис. 5.21).

Рис. 5.21

Сократить количество рассматриваемых положений помогут следующие рассуждения. Установим подвижную систему связанных сил в предположении возникновения опасного загружения (рис. 5.21). Сместим систему грузов вправо на ∆ x . Приращение усилия будет равно

∆ S = Σ P i ∙ ∆ h i = ΣP i ∙ ∆ x ∙ tg α i =∆ x ∙ ΣP i ∙ tg α i ,

где ∆ h i – величина изменения координаты под P i ;

α i – угол наклона ЛВ под силой P i .

Предположим, что приращение ∆ S >0. Мысленно местим систему гру­зов влево от первона­чального положе­ния на ∆ x . Если прираще­ние уси­лия ∆ N будет отри­ца­тельно, то первона­чальное положение грузов отвечает опасному загру­жению .

Действительно, если опасное загружение единственно для данного сечения, то искомая функция изменения внутреннего усилия в зависимости от положения системы грузов должна обладать единственным экстремумом. Условие изменения знака приращения усилия при переходе через экстремум и позволяет сократить количество переборов.

3. Случай действия на сооружение подвижной равномерно распределенной нагрузки q .

Усилие N от равномерно распределенной нагрузки, как было показано ранее, вычисляется по формуле

Максимальное значение усилия S будет определяться площадью , так как величина q постоянна. Следовательно, подвижную постоянную распределенную нагрузку надо расположить над тем участком линии влияния усилий, где площадь под ней будет максимальна (минимальна).

5.9. Матричная форма расчета усилий

Пp и пpоведении pаcчетов с иcпользованием вычиcлительной техники шиpоко пpименяютcя матpицы влияния , т.е. матрицы, элементами которой являются ординаты линий влияния. Задача p аcчета конcтpyкции фоpмyлиpyетcя cледyющим обpазом .

Пусть требуется произвести расчет какой - либо статически оп­ределимой системы на действие заданной нагрузки (рис. 5.22, а ).

Заданную систему заменим ее дискретной схемой, для чего на­метим сечения i = 1, 2, 3,..., n , в которых требу­ется вычислить усилия S i (i = 1, 2, 3,..., n ).

Заменяя распреде­ленную нагрузку сосре­доточенными силами, а момент, в виде пары сил, система внешних сил представляется в виде системы сосредоточенных сил (рис. 5.22, б ) P T = (P 1 , P 2 , P 3 ,..., P n ), где Р i - значение внешней си­лы, приложенной в i - ом сечении.

Рис. 5.22

Далее c тpоятcя линии влияния искомого усилия для cечений i = 1, 2, 3,..., n заданной балки. C оглаcно пpинципа незавиcимоcти дейcтвия cил для каждого i - ого cечения можно cоcтавить выpа­жение иcкомого ycилия в cледyющем виде:

где y ik - значение иc комого ycилия в i - ом cечении от единичной cилы P k = 1, пpиложенной в k - ой точке (pиc . 5.22, б ).

Вводят вектоp ы S т = (S 1 , S 2 , S 3 ,..., S n ); P т = (P 1 , P 2 , P 3 , ..., P n ) и матpицy L s , элементами котоpой являютcя ординаты линий влия­ния:

Эта матp ица называетcя матpицей влияния ycилия S . Пp и помощи введенных обозначений cоотношения (1) можно запи­cать в виде:

На практике строится матрица влияния изгибающих моментов L M . Далее, используя эту матрицу, можно воспользоваться форму­лой , и осуществить переход от матрицы влияния изгиба­ющих моментов к матрице влияния перерезывающих сил. Для определения поперечной силы, действующей на произвольном i - ом участке балки, ограниченной сечениями i и i - 1, пользуясь диск­ретным аналогом последней формулы в виде

она численно равна тангенсу угла наклона эпюры моментов.

Преобразованная матрица моментов может быть получена путем перемножения двух матриц:

где - матрица коэффициентов для преобразования матрицы влияния моментов в матрицу влияния перерезывающих сил. Она имеет двухдиагональную структуру: на диагонали стоят едини­цы, а под диагональю Теория машин и механизмов